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虚实之间  

2008-12-18 10:04:32|  分类: 新刊推荐 |  标签: |举报 |字号 订阅

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虚实之间 - kxsj - Newton-科学世界

撰文/胡作玄

   说到虚数i=√-1,大多数人尽管学了十几年数学,不免还是感到心虚。虚者,不实也。然而在数学中,虚数却是和实数平起平坐的东西,尤其是把实数和虚数加在一起的复数,更是必不可少的研究对象。其实虚数和复数,早在500年前,数学家已经知道它的存在,而在200年前,已经对它有相当的了解,只不过一般人,甚至许多数学教师和数学家对它也未必吃透,因此,围绕着虚数甚至负数,一直有着许多争论和误解。
    虽说,虚数并不是人人都了解,但“虚”这个词早已进入寻常百姓家,而且有太多的歧义:虚席以待,乘虚而入,空也;虚假,虚伪,不真也。而最近颇为时髦的虚拟经济、虚拟现实、虚拟世界更是让我们感到其不虚的实力。与虚拟现实的虚(英文是virtual)不同,虚数的虚的原文是imaginary,直译为“想象的”。说到底,数学的对象其实都是人脑想象出来的。你认为实实在在的数,其实你并不了解。也许读者不信,现在我来提出3个小学生都看得懂的问题:
1. 为什么负负得正?这是个涉及负数的问题。
2. -1的对数等于多少?这是个涉及虚数的问题。
3. 12+22+32+42+……等于多少?这是个涉及复数的问题。
   这些问题看来很简单,我相信有一多半大学生不会,或给出了想当然的答案(如第3题是∞)。然而数学,即使是最简单的数学,也要经得起推敲,遗憾的是,教师与教材从来不告诉学生这一点,过去是这样,现在依然是这样。这也许是我举出与虚数稍有不同的负数问题的原因。
   超级聪明的中国人很早就知道负数,当然也知道负负得正。西方人则笨得可以,到19世纪还有数学家(如德摩根)不承认负数,他认为负数不实!他认为我们常见的量都是正的,如果有负的量,而且负负得正的话,那你就可以搞一间长为-5米,宽为-6米的30平方米的房子来住了!
   不断地追求真理,不断地问为什么永远是科学精神的重要表现。中国两位科学大家、首届国家最高科学技术奖的两位院士—吴文俊与袁隆平不约而同地都在这个问题上较起真来。袁隆平自谦他数学不好,而对数学不感兴趣的原因就在于老师告诉他负负得正而又没能给他一个满意的理由。吴文俊在抗日战争期间教中学,他在备课时,就考虑告诉学生为什么“负负得正”。说到底,也就是给出一个证明。证明不难,但其中蕴涵数学中常用的一种思维方式:缺什么,补什么,添加理想元素。
   懂得这个大道理,虚数也就不难理解了。正整数是真正的自然数,它们对三大运算通行无阻;两个正整数相加、相乘仍是正整数,正整数的乘方也是正整数。而当我们有了逆运算这个伟大观念的时候,我们就碰到了两难选择:或者说逆运算行不通(无解),或者添加一些新数(理想数)让逆运算行得通,这样,我们就得到了负数、有理数、无理数以及虚数。由此得出完满的数的扩张(当然,这也存在一点麻烦,所有麻烦都是“0”造成的,例如0不能做除数)。这样,虚数虽然不是实数,但它同样具有某种实在性,也就是同负数、有理数、无理数一样进行运算。至此,我们可以回答第二个问题了。在中学数学和大学的微积分中都讲到,对数的定义域是正实数(其值域是实数,不过不一定是正实数,可以是负实数,或0)。然而,负实数的对数到底存在不存在,那就看你如何处理这个两难困境:如果你肯定虚数的存在,那log(-1)=ipπ.
   这里,对数是自然对数(以e为底)。这样,所有负实数的对数都不难求出。这里0再次成为捣蛋鬼,log0没有定义。
   当实数和虚数放在一起时,a+bi(a,b都是实数)成为一类新的数—复数。这种半实半虚的数看起来十分别扭。可是,它不仅有实在性,而且有实用性!有时比实数更加实用,微积分讨论实变量的实函数,而复变函数论或复分析则讨论复变量的复函数。我们引进这种复数及复变函数并不是为了猎奇,而它的确有实实在在的用处:微积分中算不出的定积分,用复分析方法能计算;设计飞机机翼要用复数,电工学和无线电要用复数,量子力学更要用复数。注意,复数表面看来相当于两个实数,可这两者迥然不同。复数的世界带给我们许多奇妙的东西,在实数范围内,12+22+32+42+……的确是无穷大,而在复平面上,它可以合理地变成0。

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